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單元 1 · 翰林版

質數、合數
與公因數公倍數

47 個微課程，從一個觀念、一個例題一路練到短除法應用

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觀念

先複習：什麼是因數？

如果一個數可以被另一個數整除，而且沒有餘數，後者就是它的因數。找因數時，可以從乘法配對開始。

1 × 12
找到 1、12
2 × 6
找到 2、6
3 × 4
找到 3、4
完整答案

12 的因數是 1、2、3、4、6、12。成對找，比一個一個猜更不容易漏掉。

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基礎

用乘法配對找因數

10 可以寫成 1 × 10 和 2 × 5。把全部因數依照由小到大的順序填入。

10 的因數：、、、
12 35 10
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觀念

什麼是質數？

大於 1，而且因數只有 1 和自己兩個的整數，叫做質數。

2 ÷ 1 = 2，2 ÷ 2 = 1 → 因數只有 1、2
3 ÷ 1 = 3，3 ÷ 2 有餘數，3 ÷ 3 = 1 → 因數只有 1、3

因此 2 和 3 都是質數。常見質數：2、3、5、7、11、13、17、19…

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例題

質數的判斷

7 能不能被 2～6 整除？只要都不行，它的因數就只有 1 和 7。

7 的因數只有 和 所以 7 是
12 7質數 合數
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基礎 1

識別質數

2 是 　　5 是 9 是 　　11 是
質數質數 質數合數 合數
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觀念

什麼是合數？

大於 1，除了 1 和自己，還有其他因數的整數，叫做合數。

4 ÷ 2 = 2，表示 4 除了 1、4，還有因數 2
9 ÷ 3 = 3，表示 9 除了 1、9，還有因數 3
判斷重點

不用找完全部因數；只要找到一個不是 1、也不是自己的因數，就能確定是合數。

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特例

1 是質數還是合數？

質數要有剛好 2 個因數
1 只有1 個因數：1
結論

1 既不是質數，也不是合數。

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小技巧 1

先看偶數與尾數 5

大於 2 的偶數

個位數是 0、2、4、6、8，就能被 2 整除，所以一定是合數。

例外：2 本身是質數。

大於 5、尾數是 0 或 5

這些數都能被 5 整除，所以一定是合數。

例外：5 本身是質數。

一眼排除

例如 28 是偶數；35 的尾數是 5，不用再試就知道兩者都是合數。

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小技巧 2

再試除以 3、7、11、13…

先排除 2、5不是大於 2 的偶數，尾數也不是 0、5
→
檢查 3各位數字和是 3 的倍數，就能被 3 整除
→
依序試質數7、11、13、17、19…
何時可以停？

只要試到某質數的平方已經大於原數，就能停止。例如判斷 97，只要試 2、3、5、7；因為下一個 11，11 × 11 已經大於 97。

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基礎 2

用小技巧快速篩選

42 是大於 2 的 ，所以是合數 65 的尾數是 ，所以是合數 51 的數字和是 6，能被 整除
偶數奇數 35 7
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綜合

判斷質數或合數

先用小技巧排除，再替剩下的數找因數。

1 是 17 是 　　21 是 23 是 　　25 是
質數質數 合數合數 都不是
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整理

30 以內的質數

把漏掉的質數放回正確位置。

2、3、5、7、、13、、19、、
911 1517 2123 2729
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觀念

因數和質因數不一樣

12 的全部因數

1、2、3、4、6、12

12 的質因數

2、3
它們既是 12 的因數，本身又是質數。

質因數

同時符合「是這個數的因數」和「本身是質數」兩個條件。

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觀念

用因數樹一路拆到底

第 1 步：24 = 4 × 6
第 2 步：4 = 2 × 2；6 = 2 × 3
第 3 步：2、2、2、3 都是質數，停止分解
24 = 4 × 6 = (2 × 2) × (2 × 3) = 2 × 2 × 2 × 3
3 / 3

例題

樹狀圖從不同方向拆，答案相同

第一種拆法

36 = 4 × 9
= (2 × 2) × (3 × 3)

第二種拆法

36 = 6 × 6
= (2 × 3) × (2 × 3)

結果

不論一開始怎麼拆，最後都是 36 = 2 × 2 × 3 × 3，只要每條樹枝都拆到質數即可。

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基礎

找出一個數所有的質因數

42 = 2 × 3 × 7。質因數只列種類，相同的不用重複列。

42 的質因數是 、、
12 36 742
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例題

兩個質數相乘的數

如果一個數本來就是兩個質數的乘積，這個乘法式已經是質因數分解，不必再拆。

35 = × 77 = ×
57 79 1113
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概念

用短除法做質因數分解

把一個合數拆成幾個質數相乘，拆到不能再拆為止，就叫「質因數分解」。常用短除法：不斷用質數去除，一路除到商是質數為止。

2 │ 60 2 │ 30 3 │ 15 5 60 = 2 × 2 × 3 × 5
怎麼看

左邊直式往下除的質數，加上最後剩下的質數，全部乘在一起，就是質因數分解的結果。

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步驟

短除法從哪個質數開始？

先試 2商如果還是偶數，就繼續除以 2
→
再試 3、5、7…每次都只能使用質數當除數
→
商變成質數把最後的商也寫進答案，然後停止
常見錯誤

不能寫成 24 = 4 × 6 就停止，因為 4 和 6 都還是合數，還可以繼續拆。

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基礎

逐步分解 36

36 ÷ 2 = 18 ÷ 2 = 9 ÷ 3 = 36 = 2 × 2 × 3 ×
33 69 1218
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一般

把數字分解成質因數

24 = 2 × 2 × 2 × 50 = 2 × 5 ×
2 3 4 5 7
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除錯題

哪一步還沒有拆完？

小安寫「72 = 2 × 4 × 9」，但 4 和 9 都不是質數。

4 要拆成 9 要拆成 72 =
2 × 22 × 3 3 × 3 2 × 2 × 2 × 3 × 3 2 × 4 × 9
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挑戰

從質因數反推原數

2 × 2 × 3 × 5 = 2 × 3 × 3 × 7 = 2 × 2 × 2 × 2 × 5 =
4860 7280 108126
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觀念

先找到「共同的因數」

12 的因數：1、2、3、4、6、12
18 的因數：1、2、3、6、9、18
兩邊都有的數：1、2、3、6

這些兩邊都有的數叫做公因數；其中最大的 6，叫做最大公因數。

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基礎

圈出共同的因數

8 的因數是 1、2、4、8；12 的因數是 1、2、3、4、6、12。

8 和 12 的公因數：、、 最大公因數是
12 34 46
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概念

用短除法求最大公因數

兩個數共同的因數裡最大的那一個。用短除法：找一個能同時整除兩數的質數，一直除到兩數互質（除了 1 沒有其他公因數）為止，把左邊除數乘起來就是答案。

2 │ 12 18 3 │ 6 9 2 3　（互質，停止） 最大公因數 = 2 × 3 = 6
對照一下

12 的因數：1、2、3、4、6、12　　18 的因數：1、2、3、6、9、18
共同的因數是 1、2、3、6，最大的是 6，跟短除法算出來的一樣！

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停止條件

什麼時候停止短除法？

當最後兩個商除了 1 以外，已經沒有共同因數，就叫做互質，這時可以停止。

2 和 3
公因數只有 1，是互質
4 和 6
還有公因數 2，不是互質
注意

互質不代表兩個數都要是質數。例如 8 和 9 都是合數，但公因數只有 1，所以它們互質。

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小練習

求最大公因數

8 和 12 的最大公因數 = 18 和 24 的最大公因數 =
2 3 4 6 8 12
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觀念

先找到「共同的倍數」

4 的倍數：4、8、12、16、20、24…
6 的倍數：6、12、18、24…
兩邊都有的數：12、24…

這些兩邊都有的數叫做公倍數；最早出現的 12，就是最小公倍數。

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基礎

列出倍數找答案

5 的倍數：5、10、15、… 8 的倍數：8、16、、32、40… 5 和 8 的最小公倍數是
2024 3032 40
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概念

用短除法求最小公倍數

兩個數共同的倍數裡最小的那一個。短除法做到兩數互質後，把左邊除數和最後剩下的兩個商全部乘起來，就是答案。

2 │ 12 18 3 │ 6 9 2 3　（互質，停止） 最小公倍數 = 2 × 3 × 2 × 3 = 36
對照一下

12 的倍數：12、24、36…　　18 的倍數：18、36…
兩邊最早同時出現的是 36，跟短除法算出來的一樣！

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比較

GCD 和 LCM 乘的位置不同

最大公因數

只乘短除法左邊的共同除數

2 × 3 = 6

最小公倍數

左邊共同除數和最後剩下的商全部乘

2 × 3 × 2 × 3 = 36

驗算

6 必須同時整除 12、18；36 也必須同時是 12、18 的倍數。

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小練習

求最小公倍數

4 和 6 的最小公倍數 = 5 和 8 的最小公倍數 =
8 10 12 20 24 40
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整理

短除法可以解決哪些問題？

拆
把合數拆成質因數
分
用 GCD 約分、分裝、切割
合
用 LCM 通分、找再次同時
先讀題目

同樣是短除法，最後要乘哪些數不同。先判斷是質因數分解、GCD 還是 LCM，再開始算。

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應用：三個數的 GCD

三個數要「一起」整除

2 │ 12 18 30 3 │ 6 9 15 2 3 5 最大公因數 = 2 × 3 = 6

求 GCD 時，每一列左邊的除數必須能同時整除全部的數。只要有一個不能除，就不能放在左邊。

6 / 3

應用：三個數的 LCM

不能除的數照抄下來

2 │ 4 6 10 2 │ 2 3 5 3 │ 1 3 5 5 │ 1 1 5 1 1 1 最小公倍數 = 2 × 2 × 3 × 5 = 60

求 LCM 時，除數只要能整除至少一個數就能用；不能整除的數原樣照抄，直到全部變成 1。

6 / 4

基礎

三個數的短除法

12、18、30 的最大公因數 = 4、6、10 的最小公倍數 =
23 630 60120
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應用：約分

用最大公因數一次約到最簡

36 和 48 的最大公因數是 12。
分子、分母同時除以 12：36 ÷ 12 = 3，48 ÷ 12 = 4。
36 / 48 = 3 / 4
好處

用最大公因數約分，可以一次得到最簡分數，不必反覆除以 2、再除以 2、再除以 3。

6 / 6

一般：約分

先找 GCD，再約分

GCD(24, 36) = 24 / 36 =
612 2 / 33 / 4 4 / 6
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應用：通分

用最小公倍數找最小公分母

要計算 1/6 + 1/8，先找分母 6 和 8 的最小公倍數。
LCM(6, 8) = 24，所以最小公分母是 24。
1/6 = 4/24；1/8 = 3/24，因此答案是 7/24。
6 / 8

一般：通分

先找 LCM，再通分

LCM(9, 12) = 1 / 9 = 1 / 12 =
2136 3 / 364 / 36 9 / 3612 / 36
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概念

應用題怎麼判斷要用 GCD 還是 LCM？

用最大公因數的情境

題目在問「最多能分成幾份」「最大的正方形邊長」「最多裝幾包」——
東西要切開、分組，而且要「最大」「最多份」。

用最小公倍數的情境

題目在問「下一次同時」「最少要幾個才剛好分完」「幾天後會再相遇」——
兩件事各自重複發生，要找「同時、最少」的那一次。

口訣

「分東西、找最大」→ 最大公因數。「找同時、找最少」→ 最小公倍數。

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例題拆解

切割、分裝為什麼用 GCD？

一張長 18 公分、寬 24 公分的紙，要剪成一樣大的正方形，而且不能剩下。正方形邊長最大是多少？

題目要把 18 和 24 分割，所以答案要能同時整除兩數。
題目又問邊長最大，所以找 18、24 的最大公因數。
GCD(18, 24) = 6，因此正方形邊長最大是 6 公分。
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應用題

分裝水果籃

老師有 24 顆蘋果和 36 顆橘子，要平分裝進袋子，每一袋裡蘋果和橘子的數量都要一樣多，最多可以裝成幾袋？

最多可以裝成 袋
6 8 12 24
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例題拆解

重複、同時為什麼用 LCM？

甲燈每 4 秒亮一次，乙燈每 6 秒亮一次，現在同時亮。下一次同時亮是幾秒後？

甲燈時間：4、8、12、16…
乙燈時間：6、12、18…
兩邊第一次再次相同是 12，也就是 LCM(4, 6)。
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應用題

圖書館的巧合

小明每 4 天去一次圖書館，小華每 6 天去一次圖書館。如果他們今天一起去，下一次兩人同一天去圖書館是幾天後？

下一次同一天去圖書館是 天後
2 10 12 24
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綜合判斷

先決定使用哪一種方法

把 20 顆糖和 30 塊餅乾平均分成最多袋 → 每 8 天和每 12 天一次，下次同一天 → 長 16、寬 24 的紙剪最大正方形 →
GCDGCD LCMLCM

單元 1 完成！

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質因數分解是最大公因數、最小公倍數的基本功，多練幾次短除法會更熟練。

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